Existence of periodic Gibbs state and phase 
transition in quantum lattice systems (in Ukrainian)

V. Barbulyak

A theorem of existence of periodic Gibbs state for interacting quantum particles on the lattice $\Bbb Z^d$ is given. Using the method of infra-red estimations and an information on local behaviour of the ground state of the operator $-\frac1{2m}\Delta+W$ ($W$ is an even double well potential) in a neighbourhood of minimum points of the potential we obtain a sufficient condition of existence of remote order in the system.

1. Albeveric S., Hoegh-Krohn R. Homogeneous random fields and statistical mechanics // J. Func. Anal. 1975. V.19. P.242–272.

2. Глоба С.А., Кондратьев Ю.Г. Построение гиббсовских состояний квантовых решеточных систем // Применение методов функ. анал. в задачах мат. физики.– Киев: Ин-т математики АН УССР. – 1987. С.4–16.

3. Барбуляк В.С., Кондратьев Ю.Г. Критерий существования периодических гиббсовских состояний квантовых решеточных систем // ibid. – 1990. C.30–41.

4. Шлосман С.Б. Метод отражательной положительности в математической теории фазовых переходов первого рода // УМН. 1986. Т.41, вып.3 (249). С.69–111.

5. Пастур Л.А., Хоруженко Б.А. Фазовые переходы в квантовых моделях ротаторов и сегнетоэлектриков // ТМФ. 1987. Т.73, N.1. C.111–124.

6. Dyson F.J., Lieb E.H., Simon B. Phase transitions in quantum spin systems with isotropic and nonisotropic interactions // J. Stat. Phys. 1978. V.18, N.4. P.335–383.

7. Саймон Б. Модель $P(\varphi)_2$ эвклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. -- 360 с.

8. Combes J.M., Duclos P., Seiler R. Krein's formula and one-dimensional multiple-well // J. Func. Anal. 1983. V.52, N.2. P.257–301.

9. Simon B. Instantons, double wells and large deviations // Bull. Amer. Math. Soc. 1983. V.8, N.2. P.323–326.

10. Simon B. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues, II. Tunneling // Ann. of Math. 1984. V.120, N.1. P.89–118.

11. Сухов Ю.М. Линейные бозонные модели временной эволюции в квантовой статистической механике // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т.48, N.1. C.155–191. Department of Mechanics and Mathematics, Lviv University, Universytetska 1, Lviv, 290602, Ukraine

	Existence of periodic Gibbs state and phase transition in quantum lattice systems (in Ukrainian)
Author	V. Barbulyak Department of Mechanics and Mathematics, Lviv University, Universytetska 1, Lviv, 290602, Ukraine
Abstract	A theorem of existence of periodic Gibbs state for interacting quantum particles on the lattice $\Bbb Z^d$ is given. Using the method of infra-red estimations and an information on local behaviour of the ground state of the operator $-\frac1{2m}\Delta+W$ ($W$ is an even double well potential) in a neighbourhood of minimum points of the potential we obtain a sufficient condition of existence of remote order in the system.
Keywords	periodic Gibbs state, interacting quantum particles, infra-red estimations, ground state, double well potential, remote order
DOI	doi:10.30970/ms.2.1.101-105
Reference	1. Albeveric S., Hoegh-Krohn R. Homogeneous random fields and statistical mechanics // J. Func. Anal. 1975. V.19. P.242–272. 2. Глоба С.А., Кондратьев Ю.Г. Построение гиббсовских состояний квантовых решеточных систем // Применение методов функ. анал. в задачах мат. физики.– Киев: Ин-т математики АН УССР. – 1987. С.4–16. 3. Барбуляк В.С., Кондратьев Ю.Г. Критерий существования периодических гиббсовских состояний квантовых решеточных систем // ibid. – 1990. C.30–41. 4. Шлосман С.Б. Метод отражательной положительности в математической теории фазовых переходов первого рода // УМН. 1986. Т.41, вып.3 (249). С.69–111. 5. Пастур Л.А., Хоруженко Б.А. Фазовые переходы в квантовых моделях ротаторов и сегнетоэлектриков // ТМФ. 1987. Т.73, N.1. C.111–124. 6. Dyson F.J., Lieb E.H., Simon B. Phase transitions in quantum spin systems with isotropic and nonisotropic interactions // J. Stat. Phys. 1978. V.18, N.4. P.335–383. 7. Саймон Б. Модель $P(\varphi)_2$ эвклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. -- 360 с. 8. Combes J.M., Duclos P., Seiler R. Krein's formula and one-dimensional multiple-well // J. Func. Anal. 1983. V.52, N.2. P.257–301. 9. Simon B. Instantons, double wells and large deviations // Bull. Amer. Math. Soc. 1983. V.8, N.2. P.323–326. 10. Simon B. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues, II. Tunneling // Ann. of Math. 1984. V.120, N.1. P.89–118. 11. Сухов Ю.М. Линейные бозонные модели временной эволюции в квантовой статистической механике // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т.48, N.1. C.155–191. Department of Mechanics and Mathematics, Lviv University, Universytetska 1, Lviv, 290602, Ukraine
Pages	101-105
Volume	2
Issue	1
Year	1993
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

Existence of periodic Gibbs state and phase transition in quantum lattice systems (in Ukrainian)